La Voie de l'Unité

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La Voie de l'Unité

Message par solasido le Mer 29 Jan - 11:39

Bonjour tout le monde

Dès que

Le coeur additionne
L’intellect soustrait
L’âme divise
L’esprit multiplie

Et tant que

Nul ne nait du nombre de ce que l’on parque dans l’ombre



Il existe une forte analogie entre le problème de Syracuse et la théorie musicale.

Considérons en effet les entiers comme des notes de musique caractérisées par leur fréquence.
Ainsi, la division par 2 d’un entier pair revient à descendre d’une octave.
Tandis qu’une multiplication par 3/2 d’un entier impair s’apparente à une quinte.


La gamme pythagoricienne est précisément basée sur les deux accords
jugés les plus harmonieux que sont l’octave et la quinte.

Une gamme de 12 notes a été définie et largement utilisée
car une série de 12 quintes aboutit à un son très proche du son de départ remonté de 7 octaves.

C’est le cycle des quintes.

Mathématiquement, nous pouvons effectivement vérifier
que (3/2)^12 = 129.746… ≈ 2^7 = 128,
ou encore que ln 3/ln 2 ≈ 19/12.

Il se trouve que la recherche de cycles dans le problème de Syracuse
reste étroitement liée aux approximations rationnelles de ln 3/ln 2 [Roz90] [Sin03].

Encore aujourd’hui, nous utilisons la gamme tempérée obtenue en divisant l’octave en 12 demi-tons chromatiques
égaux avec un rapport de fréquence de 2^(1/12).


Les vidéos de ce message représentent des illustrations musicales possibles de la conjecture de Syracuse,
symbolisant un dessein d'unité de conscience (intervalle musical) communiquant par sa réflexion contemplative,
restaurant tout plan d'harmonie (art-mot-nid).


Un argument probabiliste



Pour se convaincre qu’une divergence à l’infini est peu probable, on peut avoir recours à un argument probabiliste. Pour cela, il suffit d’observer que quand on a un nombre impair, et qu’on le multiplie par 3 en ajoutant 1, on tombe nécessairement sur un nombre pair. On peut donc directement le diviser par 2. Ceci donne naissance à la forme comprimée de la procédure :

   si N pair ==> N/2
   si N impair ==> (3*N+1)/2

Quel est l’intérêt de cette forme comprimée ? Que le nombre N soit pair ou impair, le nombre sur lequel on tombe sera à 50% de probabilité pair, et à 50% de probabilité impair. Après K opérations, le nombre initial a en moyenne été multiplié K/2 fois par (1/2) et K/2 fois par en gros (3/2). Donc après K opérations, le nombre initial a en moyenne été multiplié par
\left(\frac{3}{4}\right)^{K/2}

Puisque 3/4<1, on voit quand itérant les opérations à l’infini, on doit en moyenne toujours décroitre. Bien sûr cet argument probabiliste n’est pas une démonstration, puisqu’il suppose qu’on tombe bien à chaque fois à 50% de chance sur un nombre pair ou sur un nombre impair. C’est vrai en moyenne, mais pas pour chaque suite prise individuellement. Donc ce raisonnement montre qu’un contre-exemple allant à l’infini est assez improbable, mais il peut très bien exister !


Après K opérations, le nombre initial a en moyenne été multiplié K/2 fois par (1/2) et K/2 fois par en gros (3/2).










Dans ce cas je saisis mieux les images de l'Arbre de vie, qui représente également une suite de Quintes,
à la base de l'illustration graphique suivante.




Créons-nous un excellent aujourd'hui



Sol
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